Pot un problema estar en classe de complexitat NP si hi ha una màquina de tornejat no determinista que el resolgui en temps polinomial
La pregunta "Pot un problema estar en classe de complexitat NP si hi ha una màquina de Turing no determinista que el resolgui en temps polinomial?" toca conceptes fonamentals de la teoria de la complexitat computacional. Per abordar aquesta qüestió de manera exhaustiva, hem de considerar les definicions i característiques de la classe de complexitat NP i el paper de les màquines de Turing no deterministes (NDTM).
Definició de NP
La classe NP (temps polinomial no determinista) consisteix en problemes de decisió per als quals una solució determinada pot ser verificada com a correcta o incorrecta en temps polinomial mitjançant una màquina de Turing determinista (DTM). Formalment, un problema de decisió està en NP si existeix un algorisme de verificació en temps polinomial que pot verificar la correcció d'un determinat certificat (o testimoni) per a una instància del problema.
Màquines de Turing no deterministes
Una màquina de Turing no determinista és un model teòric de càlcul que amplia les capacitats d'una màquina de Turing determinista. A diferència d'un DTM, que segueix un únic camí computacional definit per la seva funció de transició, un NDTM pot seguir múltiples camins computacionals simultàniament. A cada pas, un NDTM pot "escollir" entre un conjunt de possibles transicions, explorant eficaçment molts càlculs possibles en paral·lel.
Solvabilitat en temps polinomial per NDTM
Es diu que un problema es pot resoldre mitjançant un NDTM en temps polinomial si existeix un algorisme no determinista que pugui trobar una solució al problema dins d'un nombre de passos que sigui polinomi en la mida de l'entrada. Això significa que per a qualsevol instància del problema, l'NDTM pot explorar un camí computacional que condueixi a una solució en temps polinomial.
Relació entre NP i NDTM
La classe NP es pot definir de manera equivalent en termes de NDTM. Concretament, un problema de decisió està en NP si i només si existeix un NDTM que pugui resoldre el problema en temps polinomial. Aquesta equivalència sorgeix del fet que un NDTM pot endevinar un certificat de manera no determinista i després verificar-lo determinísticament en temps polinomial.
Per il·lustrar-ho amb un exemple, considereu el conegut problema NP-complet, el problema de satisfacció booleà (SAT). Donada una fórmula booleana en forma conjuntiva normal (CNF), la tasca és determinar si existeix una assignació de valors de veritat a les variables que fa que la fórmula sigui certa. Un NDTM pot resoldre SAT en temps polinomial endevinant de manera no determinista una assignació de valors de veritat i després comprovant de manera determinística si l'assignació satisfà la fórmula. El pas de verificació, que consisteix a avaluar la fórmula sota la tasca endevinada, es pot fer en temps polinomial.
Implicacions de la solubilitat en temps polinomial per NDTM
Tenint en compte les definicions anteriors i l'equivalència entre NP i la solubilitat en temps polinomial per NDTM, podem concloure que si existeix un NDTM que resol un problema en temps polinomial, aleshores el problema és efectivament en NP. Això es deu al fet que l'existència d'aquest NDTM implica que hi ha un algorisme de verificació en temps polinomial per al problema. La fase d'endevinació no determinista de l'NDTM correspon a la generació d'un certificat, i la fase de verificació determinista correspon a l'algorisme de verificació en temps polinomial.
Altres consideracions i exemples
Per dilucidar encara més aquest concepte, considerem exemples addicionals de problemes en NP i la seva relació amb NDTM:
1. Problema de la trajectòria hamiltoniana: Donat un gràfic, el problema del camí hamiltonià pregunta si existeix un camí que visiti cada vèrtex exactament una vegada. Un NDTM pot resoldre aquest problema en temps polinomial endevinant de manera no determinista una seqüència de vèrtexs i després verificant si la seqüència forma un camí hamiltonià vàlid. El pas de verificació consisteix a comprovar l'adjacència de vèrtexs consecutius i assegurar-se que cada vèrtex es visita exactament una vegada, ambdós es poden fer en temps polinomial.
2. Problema de la suma del subconjunt: Donat un conjunt de nombres enters i una suma objectiu, el problema Suma del subconjunt pregunta si existeix un subconjunt d'enters que sumi a l'objectiu. Un NDTM pot resoldre aquest problema en temps polinomial endevinant de manera no determinista un subconjunt dels nombres enters i després verificant si la suma del subconjunt és igual a l'objectiu. El pas de verificació consisteix a sumar els elements del subconjunt endevinat, que es pot fer en temps polinomial.
3. Problema de coloració de gràfics: Donat un gràfic i un nombre de colors, el problema de coloració de gràfics pregunta si és possible acolorir els vèrtexs del gràfic de manera que no hi hagi dos vèrtexs adjacents que comparteixin el mateix color. Un NDTM pot resoldre aquest problema en temps polinomial assignant colors als vèrtexs de manera no determinista i després verificant si el color és vàlid. El pas de verificació consisteix a comprovar els colors dels vèrtexs adjacents, que es pot fer en temps polinomial.
Conclusió
A la llum de les definicions i exemples proporcionats, és clar que un problema pot estar en la classe de complexitat NP si existeix una màquina de Turing no determinista que el resolgui en temps polinomial. Aquesta relació és una pedra angular de la teoria de la complexitat computacional i subratlla l'equivalència entre la solubilitat en temps polinomial per NDTM i la pertinença a la classe NP.
Altres preguntes i respostes recents sobre Complexitat:
- La classe PSPACE no és igual a la classe EXPSPACE?
- La classe de complexitat P és un subconjunt de la classe PSPACE?
- Podem demostrar que les classes Np i P són iguals trobant una solució polinomial eficient per a qualsevol problema NP complet en un TM determinista?
- La classe NP pot ser igual a la classe EXPTIME?
- Hi ha problemes a PSPACE per als quals no es coneix l'algorisme NP?
- Un problema SAT pot ser un problema NP complet?
- NP és la classe de llenguatges que tenen verificadors de temps polinomials
- P i NP són realment la mateixa classe de complexitat?
- És cada llenguatge lliure de context a la classe de complexitat P?
- Hi ha una contradicció entre la definició de NP com a classe de problemes de decisió amb verificadors de temps polinomial i el fet que els problemes de la classe P també tinguin verificadors de temps polinomial?
Veure més preguntes i respostes a Complexity