Explica el problema del camí i com es pot resoldre mitjançant un algorisme de marcatge.
El problema del camí és un problema fonamental en la teoria de la complexitat computacional que consisteix a trobar un camí entre dos vèrtexs en un gràfic. Donat un gràfic G = (V, E) i dos vèrtexs s i t, l'objectiu és determinar si existeix un camí de s a t a G.
Per resoldre el problema del camí, un enfocament és utilitzar un algorisme de marcatge. L'algorisme de marcatge és una tècnica senzilla i eficient que es pot utilitzar per determinar si existeix un camí entre dos vèrtexs en un gràfic.
L'algorisme funciona de la següent manera:
1. Comenceu marcant el vèrtex inicial s com a visitat.
2. Per a cada vèrtex v adjacent a s, marqueu v com a visitat i afegiu-lo a una cua.
3. Mentre la cua no estigui buida, repetiu els passos següents:
a. Elimina un vèrtex u de la cua.
b. Si u és el vèrtex objectiu t, s'ha trobat un camí de s a t.
c. En cas contrari, per a cada vèrtex v adjacent a u que no s'hagi visitat, marqueu v com a visitat i afegiu-lo a la cua.
L'algoritme de marcatge utilitza una estratègia de recorregut de cerca en amplitud (BFS) per explorar el gràfic i marcar els vèrtexs com a visitats. En fer-ho, s'assegura que tots els vèrtexs accessibles des del vèrtex inicial siguin visitats, permetent a l'algoritme determinar si existeix un camí entre els vèrtexs inicial i objectiu.
La complexitat temporal de l'algorisme de marcatge és O(|V| + |E|), on |V| és el nombre de vèrtexs del gràfic i |E| és el nombre d'arestes. Això es deu al fet que l'algorisme visita cada vèrtex i cada aresta una vegada. Pel que fa a la teoria de la complexitat computacional, l'algoritme de marcatge pertany a la classe P, que representa problemes que es poden resoldre en temps polinomial.
Aquí teniu un exemple per il·lustrar l'aplicació de l'algoritme de marcatge:
Considereu el gràfic següent:
A --- B --- C | | D --- E --- F
Suposem que volem determinar si hi ha un camí des del vèrtex A fins al vèrtex F. Podem utilitzar l'algorisme de marcatge de la següent manera:
1. Comenceu marcant el vèrtex A com a visitat.
2. Afegiu el vèrtex A a la cua.
3. Elimina el vèrtex A de la cua.
4. Marqueu el vèrtex B com a visitat i afegiu-lo a la cua.
5. Elimina el vèrtex B de la cua.
6. Marqueu el vèrtex C com a visitat i afegiu-lo a la cua.
7. Elimina el vèrtex C de la cua.
8. Marqueu el vèrtex D com a visitat i afegiu-lo a la cua.
9. Elimina el vèrtex D de la cua.
10. Marqueu el vèrtex E com a visitat i afegiu-lo a la cua.
11. Elimina el vèrtex E de la cua.
12. Marqueu el vèrtex F com a visitat.
13. Com que el vèrtex F és el vèrtex objectiu, s'ha trobat un camí d'A a F.
En aquest exemple, l'algoritme de marcatge determina amb èxit que hi ha un camí des del vèrtex A fins al vèrtex F.
El problema del camí en la teoria de la complexitat computacional implica trobar un camí entre dos vèrtexs en un gràfic. L'algoritme de marcatge és una tècnica senzilla i eficient que es pot utilitzar per resoldre aquest problema realitzant un recorregut de cerca en amplitud i marcant els vèrtexs com a visitats. L'algorisme té una complexitat temporal de O(|V| + |E|) i pertany a la classe P.
Altres preguntes i respostes recents sobre Complexitat:
- La classe PSPACE no és igual a la classe EXPSPACE?
- La classe de complexitat P és un subconjunt de la classe PSPACE?
- Podem demostrar que les classes Np i P són iguals trobant una solució polinomial eficient per a qualsevol problema NP complet en un TM determinista?
- La classe NP pot ser igual a la classe EXPTIME?
- Hi ha problemes a PSPACE per als quals no es coneix l'algorisme NP?
- Un problema SAT pot ser un problema NP complet?
- Pot un problema estar en classe de complexitat NP si hi ha una màquina de tornejat no determinista que el resolgui en temps polinomial
- NP és la classe de llenguatges que tenen verificadors de temps polinomials
- P i NP són realment la mateixa classe de complexitat?
- És cada llenguatge lliure de context a la classe de complexitat P?
Veure més preguntes i respostes a Complexity