La classe NP pot ser igual a la classe EXPTIME?
La qüestió de si la classe NP pot ser igual a la classe EXPTIME aprofundeix en els aspectes fonamentals de la teoria de la complexitat computacional. Per abordar aquesta consulta de manera exhaustiva, és essencial entendre les definicions i propietats d'aquestes classes de complexitat, les relacions entre elles i les implicacions d'aquesta igualtat.
Definicions i Propietats
NP (temps polinomial no determinista):
La classe NP consisteix en problemes de decisió per als quals una solució determinada pot ser verificada com a correcta o incorrecta en temps polinomial mitjançant una màquina de Turing determinista. Formalment, un llenguatge ( L ) està en NP si existeix un verificador de temps polinomial ( V ) i un polinomi ( p ) de manera que per a cada cadena ( x en L ), existeix un certificat ( y ) amb ( |y| leq p(|x|) ) i ( V(x, y) = 1 ).
EXPTIME (temps exponencial):
La classe EXPTIME inclou problemes de decisió que es poden resoldre amb una màquina de Turing determinista en temps exponencial. Formalment, un llenguatge ( L ) està en EXPTIME si existeix una màquina de Turing determinista ( M ) i una constant ( k ) tal que per a cada cadena ( x en L ), ( M ) decideix ( x ) en el temps ( O(2) ^{n^k}) ), on ( n ) és la longitud de ( x ).
Relació entre NP i EXPTIME
Per analitzar si NP pot ser igual a EXPTIME, hem de considerar les relacions conegudes entre aquestes classes i les implicacions d'aquesta igualtat.
1. Contenció:
Se sap que NP està contingut dins d'EXPTIME. Això és degut a que qualsevol problema que es pugui verificar en temps polinomial (com en NP) també es pot resoldre en temps exponencial. Concretament, un algorisme de temps polinomial no determinista es pot simular mitjançant un algorisme de temps exponencial determinista. Per tant, ( text{NP} subseteq text{EXPTIME} ).
2. Separació:
La creença generalitzada en la teoria de la complexitat és que NP està estrictament contingut dins d'EXPTIME, és a dir, ( text{NP} subsetneq text{EXPTIME} ). Aquesta creença prové del fet que els problemes NP són resolubles en temps polinomial no determinista, que generalment es considera una classe més petita que els problemes resolubles en temps exponencial determinista.
Implicacions de NP = EXPTIME
Si NP fos igual a EXPTIME, implicaria diverses conseqüències profundes per a la nostra comprensió de la complexitat computacional:
1. Temps polinomi vs. exponencial:
Una igualtat (text{NP} = text{EXPTIME}) suggeriria que tots els problemes que es poden resoldre en temps exponencial també es poden verificar en temps polinomial. Això implicaria que molts problemes que actualment es creu que requereixen temps exponencial podrien ser verificats (i, per tant, potencialment resolts) en temps polinomial, la qual cosa contradiu les creences actuals en la teoria de la complexitat.
2. Col·lapse de les classes de complexitat:
Si NP fos igual a EXPTIME, també implicaria un col·lapse de diverses classes de complexitat. Per exemple, implicaria que ( text{P} = text{NP} ), ja que els problemes NP-complets es podrien resoldre en temps polinomial. Això implicaria, a més, que ( text{P} = text{PSPACE} ), i potencialment conduiria a un col·lapse de la jerarquia polinomial.
Exemples i consideracions addicionals
Per il·lustrar les implicacions, considereu els exemples següents:
1. SAT (problema de satisfacció):
SAT és un problema de NP-complet conegut. Si NP fos igual a EXPTIME, implicaria que SAT es pot resoldre en temps exponencial determinista. Més significativament, implicaria que SAT es pot verificar en temps polinomial i, per tant, resoldre en temps polinomial, donant lloc a (text{P} = text{NP}).
2. Escacs:
Se sap que el problema de determinar si un jugador té una estratègia guanyadora en una posició d'escacs determinada està en EXPTIME. Si NP fos igual a EXPTIME, implicaria que aquest problema es podria verificar en temps polinomial, cosa que actualment no es creu possible.
Conclusió
La qüestió de si la classe NP pot ser igual a la classe EXPTIME és important en la teoria de la complexitat computacional. Segons els coneixements actuals, es creu que NP està estrictament contingut dins d'EXPTIME. Les implicacions que NP sigui igual a EXPTIME serien profundes, provocant un col·lapse de diverses classes de complexitat i desafiant la nostra comprensió actual del temps polinomi versus exponencial.
Altres preguntes i respostes recents sobre Complexitat:
- La classe PSPACE no és igual a la classe EXPSPACE?
- La classe de complexitat P és un subconjunt de la classe PSPACE?
- Podem demostrar que les classes Np i P són iguals trobant una solució polinomial eficient per a qualsevol problema NP complet en un TM determinista?
- Hi ha problemes a PSPACE per als quals no es coneix l'algorisme NP?
- Un problema SAT pot ser un problema NP complet?
- Pot un problema estar en classe de complexitat NP si hi ha una màquina de tornejat no determinista que el resolgui en temps polinomial
- NP és la classe de llenguatges que tenen verificadors de temps polinomials
- P i NP són realment la mateixa classe de complexitat?
- És cada llenguatge lliure de context a la classe de complexitat P?
- Hi ha una contradicció entre la definició de NP com a classe de problemes de decisió amb verificadors de temps polinomial i el fet que els problemes de la classe P també tinguin verificadors de temps polinomial?
Veure més preguntes i respostes a Complexity