La investigació sobre si totes les diferents variacions de les màquines de Turing són equivalents en capacitat informàtica és una qüestió fonamental en l'àmbit de la informàtica teòrica, particularment dins de l'estudi de la teoria de la complexitat computacional i la decidibilitat. Per abordar això, és essencial tenir en compte la naturalesa de les màquines de Turing i el concepte d'equivalència computacional.
Una màquina de Turing és un model matemàtic abstracte de càlcul que va ser introduït per Alan Turing el 1936. Consisteix en una cinta infinita, un capçal de cinta que pot llegir i escriure símbols a la cinta, un conjunt finit d'estats i una funció de transició que dicta les accions de la màquina en funció de l'estat actual i del símbol que es llegeix. La màquina de Turing estàndard, sovint anomenada màquina de Turing "clàssica" o "d'una sola cinta", serveix com a model fonamental per definir processos computacionals.
Hi ha diverses variacions de màquines de Turing, cadascuna amb diferents configuracions o millores. Algunes de les variacions notables inclouen:
1. Màquines de Turing multicinta: Aquestes màquines tenen múltiples cintes i capçals de cinta corresponents. Cada cinta funciona de manera independent i la funció de transició pot dependre dels símbols llegits de totes les cintes. Malgrat l'augment de la complexitat, les màquines de Turing multicinta són computacionalment equivalents a les màquines de Turing d'una sola cinta. Això significa que qualsevol càlcul realitzat per una màquina de Turing multi-cinta pot ser simulat per una màquina de Turing d'una sola cinta, encara que amb un possible augment polinomi en el nombre de passos necessaris.
2. Màquines de Turing no deterministes (NTM): Aquestes màquines poden fer múltiples transicions per a un estat i un símbol d'entrada determinats, ramificant-se efectivament en múltiples camins computacionals. Tot i que els NTM poden explorar molts camins computacionals simultàniament, també són computacionalment equivalents a les màquines de Turing deterministes (DTM). Qualsevol llenguatge reconegut per un NTM també pot ser reconegut per un DTM, encara que la simulació pot requerir un temps exponencial en el pitjor dels casos.
3. Màquines universals de Turing (UTM): Un UTM és una màquina de Turing que pot simular qualsevol altra màquina de Turing. Pren com a entrada una descripció d'una altra màquina de Turing i una cadena d'entrada per a aquesta màquina. Aleshores, l'UTM simula el comportament de la màquina descrita a la cadena d'entrada. L'existència d'UTM demostra que una única màquina pot realitzar qualsevol càlcul que qualsevol altra màquina de Turing, destacant la universalitat del model de la màquina de Turing.
4. Màquines de Turing amb cintes semi-infinites: Aquestes màquines tenen cintes que són infinites només en una direcció. Són computacionalment equivalents a les màquines de Turing estàndard, ja que qualsevol càlcul realitzat per una màquina de Turing de cinta semi-infinita pot ser simulat per una màquina de Turing estàndard amb la codificació adequada del contingut de la cinta.
5. Màquines de Turing amb capçals múltiples: Aquestes màquines tenen diversos capçals de cinta que poden llegir i escriure en una sola cinta. Igual que les màquines de Turing de cintes múltiples, les màquines de Turing de múltiples capçals són computacionalment equivalents a les màquines de Turing d'una sola cinta, amb la simulació que pot requerir passos addicionals.
6. Màquines de Turing alternades (ATMs): Aquestes màquines generalitzen els NTM permetent que els estats siguin designats com a existencials o universals. Un caixer automàtic accepta una entrada si hi ha una seqüència de moviments des de l'estat inicial a un estat d'acceptació que compleix les condicions existencials i universals. Els caixers automàtics també són computacionalment equivalents als DTM pel que fa als llenguatges que reconeixen, tot i que les classes de complexitat que caracteritzen, com ara la jerarquia polinòmica, difereixen.
7. Màquines quàntiques de Turing (QTM): Aquestes màquines incorporen principis de la mecànica quàntica, permetent la superposició i l'entrellat d'estats. Tot i que els QTM poden resoldre certs problemes de manera més eficient que les màquines de Turing clàssiques (per exemple, factoritzar nombres enters grans utilitzant l'algorisme de Shor), no són més potents pel que fa a la classe de funcions computables. Qualsevol funció computable per un QTM també és computable per una màquina de Turing clàssica.
L'equivalència de diferents variacions de la màquina de Turing en la capacitat informàtica es basa en la tesi Church-Turing. Aquesta tesi postula que qualsevol funció que es pugui calcular eficaçment per qualsevol model computacional raonable també pot ser calculada per una màquina de Turing. En conseqüència, totes les variacions esmentades de les màquines de Turing són equivalents pel que fa a la seva capacitat per calcular funcions i reconèixer llenguatges, tot i que poden diferir en eficiència o complexitat de la simulació.
Per il·lustrar aquesta equivalència, considereu la tasca de simular una màquina de Turing multi-cinta utilitzant una màquina de Turing d'una sola cinta. Suposem que tenim una màquina de Turing de cintes múltiples amb cintes (k). Podem simular aquesta màquina amb una màquina de Turing d'una sola cinta codificant el contingut de totes les (k) cintes en una sola cinta. La cinta de la màquina d'una sola cinta es pot dividir en (k) seccions, cadascuna representant una de les cintes originals. L'estat de la màquina pot incloure informació sobre les posicions dels caps de cinta a cadascuna de les (k) cintes. La funció de transició de la màquina de cinta única es pot dissenyar per imitar el comportament de la màquina de cintes múltiples actualitzant el contingut de la cinta codificada i les posicions del capçal en conseqüència. Tot i que aquesta simulació pot requerir més passos que la màquina multicinta original, demostra que la màquina d'una sola cinta pot realitzar el mateix càlcul.
De la mateixa manera, simular una màquina de Turing no determinista amb una màquina de Turing determinista implica explorar sistemàticament tots els camins computacionals possibles de la NTM. Això es pot aconseguir mitjançant tècniques com ara la cerca en profunditat o la cerca en profunditat, assegurant que finalment s'examinin tots els camins. Tot i que la simulació pot ser exponencialment més lenta, confirma que el DTM pot reconèixer els mateixos idiomes que el NTM.
La universalitat de les màquines de Turing s'exemplifica amb l'existència de màquines de Turing universals. Un UTM pot simular qualsevol altra màquina de Turing interpretant una descripció de la màquina objectiu i la seva entrada. Aquesta capacitat subratlla el principi fonamental que un únic model computacional pot encapsular el comportament de tots els altres models, reforçant la noció d'equivalència computacional.
Tot i que les diferents variacions de les màquines de Turing poden oferir diferents avantatges en termes d'eficiència, facilitat de programació o claredat conceptual, totes són equivalents en capacitat informàtica. Aquesta equivalència és una pedra angular de la informàtica teòrica, proporcionant un marc unificat per entendre els límits de la computació i la naturalesa de la decidibilitat.
Altres preguntes i respostes recents sobre Funcions computables:
- Explica la relació entre una funció computable i l'existència d'una màquina de Turing que la pugui calcular.
- Quina és la importància que una màquina de Turing s'aturi sempre quan calcula una funció computable?
- Es pot modificar una màquina de Turing per acceptar sempre una funció? Explica per què o per què no.
- Com calcula una funció una màquina de Turing i quin és el paper de les cintes d'entrada i de sortida?
- Què és una funció computable en el context de la teoria de la complexitat computacional i com es defineix?