Si tenim dues MT que descriuen un llenguatge decidible, la pregunta d'equivalència encara és indecidible?
En el camp de la teoria de la complexitat computacional, el concepte de decidibilitat té un paper fonamental. Es diu que un llenguatge és decidible si existeix una màquina de Turing (TM) que pugui determinar, per a qualsevol entrada donada, si pertany o no al llenguatge. La decidibilitat d'una llengua és una propietat important, ja que ens permet raonar sobre la llengua i les seves propietats algorítmicament.
La pregunta d'equivalència per a les màquines de Turing es refereix a determinar si dues TM donades reconeixen el mateix llenguatge. Formalment, donats dos TM M1 i M2, la pregunta d'equivalència pregunta si L(M1) = L(M2), on L(M) representa el llenguatge reconegut per TM M.
Se sap que el problema general de determinar l'equivalència de dos TM és indecidible. Això vol dir que no hi ha cap algorisme que sempre pugui decidir si dues TM arbitràries reconeixen el mateix llenguatge o no. Aquest resultat va ser provat per Alan Turing en el seu treball seminal sobre computabilitat.
Tanmateix, és important tenir en compte que aquest resultat és vàlid per al cas general de TM arbitràries. En el cas concret en què ambdues TM descriuen llengües decidibles, la pregunta d'equivalència esdevé decidible. Això es deu al fet que les llengües determinables són aquelles per a les quals existeix una MT que pot decidir la pertinença a la llengua. Per tant, si dues TM descriuen llenguatges decidibles, podem construir una nova TM que decideixi la seva equivalència.
Per il·lustrar-ho, considerem un exemple. Suposem que tenim dos TM M1 i M2 que descriuen llenguatges decidibles. Podem construir un nou TM M que decideixi la seva equivalència de la següent manera:
1. Donada una entrada x, simula M1 sobre x i M2 sobre x simultàniament.
2. Si M1 accepta x i M2 accepta x, aleshores accepta.
3. Si M1 rebutja x i M2 rebutja x, aleshores accepta.
4. En cas contrari, rebutjar.
Per construcció, el TM M acceptarà una entrada x si i només si tant M1 com M2 accepten x, o tant M1 com M2 rebutgen x. Això vol dir que M decideix l'equivalència de M1 i M2 per a qualsevol entrada x donada.
Tot i que el problema general de determinar l'equivalència de dues TM arbitràries és indecidible, si les TM descriuen llenguatges decidibles, la qüestió d'equivalència esdevé decidible. Això es deu al fet que els llenguatges decidibles poden ser decidits per una MT, la qual cosa ens permet construir una MT que decideixi la seva equivalència. La decisió de la pregunta d'equivalència per a les TM que descriuen llenguatges decidibles proporciona informació important sobre la complexitat computacional d'aquests llenguatges.
Altres preguntes i respostes recents sobre Decidibilitat:
- Es pot limitar una cinta a la mida de l'entrada (que equival a que el capçal de la màquina de tornejat estigui limitat per moure's més enllà de l'entrada de la cinta TM)?
- Què significa que les diferents variacions de les màquines de Turing siguin equivalents en capacitat informàtica?
- Un llenguatge reconeixible pot formar un subconjunt de llenguatge decidible?
- És decidible el problema de la parada d'una màquina de Turing?
- En què difereix el problema d'acceptació dels autòmats acotats lineals del de les màquines de Turing?
- Posa un exemple d'un problema que es pot decidir amb un autòmat lineal acotat.
- Explica el concepte de decidibilitat en el context d'autòmats lineals acotats.
- Com afecta la mida de la cinta en autòmats delimitats lineals al nombre de configuracions diferents?
- Quina és la diferència principal entre els autòmats acotats lineals i les màquines de Turing?
- Descriu el procés de transformació d'una màquina de Turing en un conjunt de fitxes per al PCP i com aquestes fitxes representen l'historial de càlcul.
Veure més preguntes i respostes a Decidabilitat