Explica el concepte de reductibilitat i el seu paper a l'hora de demostrar la indecidibilitat.
La reductibilitat és un concepte fonamental en la teoria de la complexitat computacional que juga un paper important a l'hora de demostrar la indecidibilitat. És una tècnica utilitzada per establir la indecidibilitat d'un problema reduint-lo a un problema indecidible conegut. En essència, la reductibilitat ens permet demostrar que si tinguéssim un algorisme per resoldre el problema en qüestió, el podríem utilitzar per resoldre el problema indecidible conegut, que és una contradicció.
Per entendre la reductibilitat, primer definim la noció de problema de decisió. Un problema de decisió és un problema computacional que requereix una resposta sí/no. Per exemple, el problema de determinar si un nombre donat és primer o compost és un problema de decisió. Podem representar els problemes de decisió com a llenguatges formals, on les cadenes del llenguatge són els casos en què la resposta és "sí".
Considerem ara dos problemes de decisió, P i Q. Diem que P és reductible a Q (indicat com P ≤ Q) si existeix una funció computable f que transforma les instàncies de P en instàncies de Q de tal manera que la resposta a una instància x de P és "sí" si i només si la resposta a f(x) de Q és "sí". En altres paraules, f conserva la resposta al problema.
La idea clau darrere de la reductibilitat és que si podem reduir el problema P al problema Q, llavors Q és almenys tan difícil com P. Si tinguéssim un algorisme per resoldre Q, el podríem utilitzar, juntament amb la funció de reducció f, per resoldre'l. P. Això vol dir que si Q és indecidible, llavors P també ha de ser indecidible. Així, la reductibilitat ens permet "transferir" la indecidibilitat d'un problema a un altre.
Per demostrar la indecidibilitat mitjançant la reductibilitat, normalment comencem amb un problema indecidible conegut, com ara el problema d'aturada, que pregunta si un programa determinat s'atura en una entrada determinada. Aleshores mostrem que si tinguéssim un algorisme per resoldre el nostre problema d'interès, podríem utilitzar-lo per resoldre el problema d'aturada, donant lloc a una contradicció. Això estableix la indecidibilitat del nostre problema.
Per exemple, considerem el problema de determinar si un determinat programa P accepta qualsevol entrada. Podem reduir el problema d'aturada a aquest problema construint una funció de reducció f que pren com a entrada un programa Q i una entrada x, i produeix un programa P que es comporta de la següent manera: si Q s'atura en x, aleshores P accepta qualsevol entrada; en cas contrari, P entra en un bucle infinit per a qualsevol entrada. Si tinguéssim un algorisme per resoldre el problema de determinar si P accepta qualsevol entrada, podríem utilitzar-lo per resoldre el problema d'aturada aplicant-lo a f(Q, x). Per tant, el problema de determinar si un programa accepta qualsevol entrada és indecidible.
La reductibilitat és una tècnica potent en la teoria de la complexitat computacional que ens permet demostrar la indecidibilitat d'un problema reduint-lo a un problema indecidible conegut. En establir una reducció d'un problema P a un problema Q, mostrem que Q és almenys tan dur com P, i si Q és indecidible, llavors P també ha de ser indecidible. Aquesta tècnica ens permet transferir la indecidibilitat entre problemes i proporciona una valuosa eina per entendre els límits de la computació.
Altres preguntes i respostes recents sobre Decidibilitat:
- Es pot limitar una cinta a la mida de l'entrada (que equival a que el capçal de la màquina de tornejat estigui limitat per moure's més enllà de l'entrada de la cinta TM)?
- Què significa que les diferents variacions de les màquines de Turing siguin equivalents en capacitat informàtica?
- Un llenguatge reconeixible pot formar un subconjunt de llenguatge decidible?
- És decidible el problema de la parada d'una màquina de Turing?
- Si tenim dues MT que descriuen un llenguatge decidible, la pregunta d'equivalència encara és indecidible?
- En què difereix el problema d'acceptació dels autòmats acotats lineals del de les màquines de Turing?
- Posa un exemple d'un problema que es pot decidir amb un autòmat lineal acotat.
- Explica el concepte de decidibilitat en el context d'autòmats lineals acotats.
- Com afecta la mida de la cinta en autòmats delimitats lineals al nombre de configuracions diferents?
- Quina és la diferència principal entre els autòmats acotats lineals i les màquines de Turing?
Veure més preguntes i respostes a Decidabilitat