La lògica de predicats de primer ordre, també coneguda com a lògica de primer ordre (FOL), és un sistema formal utilitzat en matemàtiques, filosofia, lingüística i informàtica. Estén la lògica proposicional incorporant quantificadors i predicats, la qual cosa permet un llenguatge més expressiu capaç de representar una gamma més àmplia d'enunciats sobre el món. Aquest sistema lògic és fonamental en diversos camps, com ara la teoria de la complexitat computacional i la ciberseguretat, on és important per raonar sobre algorismes, sistemes i propietats de seguretat.
En la lògica de predicats de primer ordre, un predicat és una funció que pren un o més arguments i retorna un valor de veritat, ja sigui vertader o fals. Els predicats s'utilitzen per expressar propietats d'objectes o relacions entre objectes. Per exemple, en un domini del discurs sobre persones, un predicat podria ser "isTall(x)", que pren un sol argument x i retorna cert si x és alt i fals en cas contrari. Un altre exemple podria ser "isSibling(x, y)", que pren dos arguments x i y i retorna cert si x i y són germans, i fals en cas contrari.
Per entendre per què els predicats de la lògica de primer ordre donen valors de veritat, és essencial tenir en compte l'estructura i la semàntica d'aquest sistema lògic. La lògica de primer ordre consta dels components següents:
1. Variables: Símbols que representen elements en el domini del discurs. Alguns exemples inclouen x, y, z.
2. Constants: Símbols que fan referència a elements concrets del domini. Els exemples inclouen a, b, c.
3. Predicats: Símbols que representen propietats o relacions. Sovint es denoten amb lletres majúscules com P, Q, R.
4. Funcions: Símbols que mapegen elements del domini amb altres elements. Els exemples inclouen f, g, h.
5. Quantificadors: símbols que expressen fins a quin punt un predicat s'aplica a un domini. Els dos quantificadors primaris són el quantificador universal (∀) i el quantificador existencial (∃).
6. Connexions lògiques: Símbols que combinen predicats i enunciats. Aquests inclouen conjunció (∧), disjunció (∨), negació (¬), implicació (→) i bicondicional (↔).
La sintaxi de la lògica de primer ordre defineix com es poden combinar aquests components per formar fórmules ben formades (WFF). Un WFF és una cadena de símbols gramaticalment correcta segons les regles del sistema lògic. Per exemple, si P és un predicat i x és una variable, aleshores P(x) és un WFF. De la mateixa manera, si Q és un predicat amb dos arguments, llavors Q(x, y) també és un WFF.
La semàntica de la lògica de primer ordre proporciona el significat d'aquestes fórmules. La interpretació d'un llenguatge de primer ordre implica el següent:
1. Domini del discurs: Un conjunt no buit d'elements sobre els quals es troben les variables.
2. Funció d'interpretació: Un mapeig que assigna significats a les constants, funcions i predicats del llenguatge. En concret, assigna:
– Un element del domini a cada constant.
– Una funció del domini al domini per a cada símbol de funció.
– Una relació sobre el domini amb cada símbol de predicat.
Donada una interpretació i una assignació de valors a les variables, es pot determinar el valor de veritat d'un WFF. Per exemple, considereu el predicat "isTall(x)" en un domini de persones. Si la funció d'interpretació assigna la propietat de ser alt al predicat "isTall", aleshores "isTall(x)" serà cert si la persona representada per x és alta, i fals en cas contrari.
Els quantificadors tenen un paper important en la lògica de primer ordre ja que permeten declaracions sobre tots o alguns elements del domini. El quantificador universal (∀) denota que un predicat és vàlid per a tots els elements del domini, mentre que el quantificador existencial (∃) denota que existeix almenys un element en el domini per al qual s'aplica el predicat.
Per exemple:
– L'enunciat "∀x isTall(x)" significa "Totes les persones són altes".
– La declaració "∃x isTall(x)" significa "Hi ha almenys una persona que és alta".
Aquests quantificadors, combinats amb predicats, permeten la construcció d'enunciats lògics complexos que es poden avaluar com a vertaderes o falses a partir de la interpretació.
Per il·lustrar-ho més, considereu un domini format per tres persones: Alice, Bob i Carol. Que el predicat "isTall(x)" s'interpreti de manera que l'Alice i el Bob siguin alts, però Carol no. La funció d'interpretació assigna els següents valors de veritat:
– isTall (Alice) = cert
– isTall(Bob) = cert
– isTall(Carol) = fals
Ara, considereu les afirmacions següents:
1. "∀x isTall(x)": aquesta afirmació és falsa perquè no totes les persones del domini són altes (la Carol no és alta).
2. "∃x isTall(x)" – Aquesta afirmació és certa perquè hi ha persones al domini que són altes (Alice i Bob).
Els valors de veritat d'aquestes afirmacions estan determinats per la interpretació del predicat i el domini del discurs.
En la teoria de la complexitat computacional i la ciberseguretat, la lògica de primer ordre s'utilitza per raonar sobre les propietats dels algorismes, protocols i sistemes. Per exemple, en la verificació formal, la lògica de primer ordre es pot utilitzar per especificar i verificar la correcció dels sistemes de programari i maquinari. Un predicat pot representar una propietat de seguretat, com ara "isAuthenticated(user)", que retorna true si l'usuari està autenticat i false en cas contrari. Mitjançant l'ús de la lògica de primer ordre, es pot demostrar formalment si un sistema compleix determinades propietats de seguretat en totes les condicions possibles.
A més, la lògica de primer ordre és fonamental en l'estudi de la decidibilitat i la complexitat computacional. El problema Entscheidung, plantejat per David Hilbert, va preguntar si existeix un algorisme que pugui determinar la veritat o la falsedat de qualsevol enunciat lògic de primer ordre donat. Alan Turing i Alonzo Church van demostrar de manera independent que no existeix aquest algorisme, establint la indecidibilitat de la lògica de primer ordre. Aquest resultat té implicacions profundes per als límits de la computació i la complexitat del raonament lògic.
En aplicacions pràctiques, les eines de demostració automatitzada de teoremes i de verificació de models sovint utilitzen la lògica de primer ordre per verificar les propietats dels sistemes. Aquestes eines prenen especificacions lògiques com a entrada i intenten demostrar si les propietats especificades es compleixen. Per exemple, un verificador de models podria verificar si un protocol de xarxa compleix determinades propietats de seguretat expressant aquestes propietats en lògica de primer ordre i explorant tots els estats possibles del protocol.
Els predicats en la lògica de primer ordre donen valors de veritat, ja siguin veritables o falses, basats en la seva interpretació i en el domini del discurs. Aquesta característica fa de la lògica de primer ordre un sistema formal potent i expressiu per raonar sobre propietats i relacions en diversos camps, com ara les matemàtiques, la filosofia, la lingüística, la informàtica i la ciberseguretat.
Altres preguntes i respostes recents sobre EITC/IS/CCTF Fonaments de la teoria de la complexitat computacional:
- Tenint en compte els PDA no deterministes, la superposició d'estats és possible per definició. Tanmateix, els PDA no deterministes només tenen una pila que no pot estar en diversos estats simultàniament. Com és possible això?
- Quin és un exemple de PDA que s'utilitzen per analitzar el trànsit de xarxa i identificar patrons que indiquen possibles infraccions de seguretat?
- Què vol dir que una llengua és més poderosa que una altra?
- Els llenguatges sensibles al context són reconeixibles per una màquina de Turing?
- Per què el llenguatge U = 0^n1^n (n>=0) no és regular?
- Com es defineix un FSM que reconeix cadenes binàries amb un nombre parell de símbols "1" i mostra què passa amb ell quan es processa la cadena d'entrada 1011?
- Com afecta el no determinisme a la funció de transició?
- Els llenguatges normals són equivalents a les màquines d'estats finits?
- La classe PSPACE no és igual a la classe EXPSPACE?
- És un problema computable algorítmicament un problema computable per una màquina de Turing d'acord amb la tesi Church-Turing?
Vegeu més preguntes i respostes a EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals