És cada llenguatge lliure de context a la classe de complexitat P?
La qüestió de si cada llenguatge lliure de context (CFL) resideix dins de la classe de complexitat P és un tema fascinant dins de la teoria de la complexitat computacional. Per abordar aquesta qüestió de manera exhaustiva, és essencial tenir en compte les definicions de llenguatges sense context, la classe de complexitat P i la relació entre aquests conceptes.
Un llenguatge lliure de context és un tipus de llenguatge formal que pot ser generat per una gramàtica lliure de context (CFG). Un CFG és un conjunt de regles de producció que descriuen totes les cadenes possibles en un llenguatge formal determinat. Cada regla d'un CFG substitueix un únic símbol no terminal per una cadena de símbols no terminals i terminals. Els llenguatges sense context són importants en informàtica perquè poden descriure la sintaxi de la majoria de llenguatges de programació i són reconeguts pels autòmats pushdown.
La classe de complexitat P consta de problemes de decisió que es poden resoldre mitjançant una màquina de Turing determinista en temps polinomial. El temps polinomial, denotat com O(n^k) on n és la mida de l'entrada i k és una constant, representa un límit superior de la complexitat temporal de l'algorisme. Els problemes de P es consideren resolubles de manera eficient perquè el temps necessari per resoldre'ls creix a un ritme manejable a mesura que augmenta la mida de l'entrada.
Per determinar si cada llenguatge sense context es troba a P, hem d'examinar els recursos computacionals necessaris per decidir la pertinença a un llenguatge sense context. El problema de decisió per a un llenguatge sense context s'enuncia normalment de la següent manera: donada una cadena w i una gramàtica lliure de context G, determineu si G pot generar w.
L'algoritme estàndard per decidir la pertinença en un llenguatge sense context és l'algoritme CYK (Cocke-Younger-Kasami), que és un algorisme de programació dinàmica. L'algorisme CYK funciona en el temps O(n^3), on n és la longitud de la cadena d'entrada. Aquesta complexitat de temps cúbic sorgeix perquè l'algorisme construeix una taula d'anàlisi que té dimensions proporcionals a la longitud de la cadena d'entrada i al nombre de símbols no terminals de la gramàtica.
Atès que l'algorisme CYK funciona en temps polinomial, es dedueix que el problema de pertinença per a llenguatges sense context es pot resoldre en temps polinomial. En conseqüència, els llenguatges sense context es troben dins de la classe de complexitat P. Aquest resultat és significatiu perquè estableix que els llenguatges sense context, que són més expressius que els llenguatges normals, encara es poden decidir de manera eficient.
Per il·lustrar-ho, considereu el llenguatge sense context L = {a^nb^n | n ≥ 0}, que consta de cadenes amb un nombre igual de 'a's seguit d'un nombre igual de 'b'. Una gramàtica sense context per a aquest idioma es pot definir de la següent manera:
S → aSb | ε
Aquí, S és el símbol d'inici i ε representa la cadena buida. L'algorisme CYK es pot utilitzar per determinar si una cadena donada w pertany a L. Per exemple, donada la cadena w = "aaabbb", l'algoritme CYK construiria una taula d'anàlisi per verificar que w pot ser generada per la gramàtica.
A més, val la pena assenyalar que alguns llenguatges sense context es poden decidir de manera encara més eficient que la complexitat temporal general O(n^3) de l'algorisme CYK. Per exemple, els llenguatges deterministes sense context, que són un subconjunt de llenguatges lliures de context reconeguts pels autòmats deterministes pushdown, sovint es poden decidir en temps O(n). Aquesta complexitat de temps lineal sorgeix perquè els autòmats pushdown deterministes tenen un model computacional més restringit, que permet algorismes d'anàlisi més eficients com els analitzadors LR(k) o LL(k) utilitzats en el disseny del compilador.
El problema de pertinença als llenguatges sense context es pot resoldre en temps polinomial utilitzant algorismes com l'algorisme CYK, situant els llenguatges sense context dins de la classe de complexitat P. Aquest resultat posa de manifest l'eficiència amb què es poden processar els llenguatges sense context, fent-los adequat per a aplicacions en l'anàlisi de la sintaxi del llenguatge de programació i altres àrees on es requereix el reconeixement formal del llenguatge.
Altres preguntes i respostes recents sobre Complexitat:
- La classe PSPACE no és igual a la classe EXPSPACE?
- La classe de complexitat P és un subconjunt de la classe PSPACE?
- Podem demostrar que les classes Np i P són iguals trobant una solució polinomial eficient per a qualsevol problema NP complet en un TM determinista?
- La classe NP pot ser igual a la classe EXPTIME?
- Hi ha problemes a PSPACE per als quals no es coneix l'algorisme NP?
- Un problema SAT pot ser un problema NP complet?
- Pot un problema estar en classe de complexitat NP si hi ha una màquina de tornejat no determinista que el resolgui en temps polinomial
- NP és la classe de llenguatges que tenen verificadors de temps polinomials
- P i NP són realment la mateixa classe de complexitat?
- Hi ha una contradicció entre la definició de NP com a classe de problemes de decisió amb verificadors de temps polinomial i el fet que els problemes de la classe P també tinguin verificadors de temps polinomial?
Veure més preguntes i respostes a Complexity