És decidible el problema de la parada d'una màquina de Turing?
La qüestió de si el problema d'aturada d'una màquina de Turing és decidible és una qüestió fonamental en l'àmbit de la informàtica teòrica, particularment dins dels dominis de la teoria de la complexitat computacional i la decidibilitat. El problema d'aturada és un problema de decisió que es pot enunciar de manera informal de la següent manera: donada una descripció d'una màquina de Turing i una entrada, determineu si la màquina de Turing s'aturarà quan s'executi amb aquesta entrada, o si s'executarà per sempre.
Per abordar la decidibilitat del problema de l'aturada, és essencial entendre el concepte de decidibilitat en si. Es diu que un problema és decidible si existeix un algorisme que pugui donar una resposta correcta de sí o no per a cada instància del problema en un període de temps finit. Per contra, un problema és indecidible si no existeix aquest algorisme.
El problema de l'aturada va ser introduït per primera vegada i va demostrar que era indecidible per Alan Turing l'any 1936. La demostració de Turing és un exemple clàssic d'un argument de diagonalització i implica un ús intel·ligent de l'autoreferència i la contradicció. La prova es pot resumir de la següent manera:
1. Suposició de Decidabilitat: Suposem, per a la contradicció, que existeix una màquina de Turing ( H ) que pot decidir el problema de l'aturada. És a dir, ( H ) pren com a entrada un parell ( (M, w) ), on ( M ) és una descripció d'una màquina de Turing i ( w ) és una cadena d'entrada, i ( H(M, w) ) retorna " sí" si ( M ) s'atura a ( w ) i "no" si ( M ) no s'atura a ( w ).
2. Construcció d'una màquina paradoxal: Utilitzant ( H ), construeix una nova màquina de Turing ( D ) que pren una sola entrada ( M ) (una descripció d'una màquina de Turing) i es comporta de la següent manera:
– ( D(M) ) corre ( H(M, M) ).
– Si ( H(M, M) ) retorna "no", aleshores ( D(M) ) s'atura.
– Si ( H(M, M) ) retorna "sí", aleshores ( D(M) ) entra en un bucle infinit.
3. Autoreferència i contradicció: Considereu el comportament de ( D ) quan se li dóna la seva pròpia descripció com a entrada. Sigui ( d ) la descripció de ( D ). Aleshores tenim dos casos:
– Si ( D(d) ) s'atura, aleshores, segons la definició de ( D ), ( H(d, d) ) ha de retornar "no", el que significa que ( D(d) ) no s'ha d'aturar, una contradicció.
– Si (D(d)) no s'atura, aleshores, segons la definició de (D), (H(d, d)) ha de retornar "sí", el que significa que (D(d)) s'hauria d'aturar, de nou, una contradicció .
Com que tots dos casos condueixen a una contradicció, la suposició inicial que existeix ( H ) ha de ser falsa. Per tant, el problema de l'aturada és indecidible.
Aquesta prova demostra que no hi ha cap algorisme general que pugui resoldre el problema d'aturada per a totes les màquines i entrades de Turing possibles. La indecidibilitat del problema de l'aturada té profundes implicacions per als límits de la computació i el que es pot determinar algorítmicament. Mostra que hi ha limitacions inherents al que es pot calcular, i alguns problemes estan fora de l'abast de qualsevol algorisme.
Per il·lustrar més les implicacions del problema d'aturada, considereu els exemples següents:
- Verificació del programa: Es podria voler verificar que un programa determinat finalitza per a totes les entrades possibles. A causa de la indecidibilitat del problema d'aturada, és impossible crear un verificador de programa de propòsit general que pugui determinar, per a cada programa i entrada possible, si el programa s'aturarà.
- Anàlisi de seguretat: En ciberseguretat, és possible que vulgueu analitzar si una peça de programari maliciós finalment deixarà d'executar-se. La indecidibilitat del problema d'aturada implica que no hi ha cap algorisme general que pugui determinar si algun programari maliciós determinat s'aturarà.
- Proves matemàtiques: El problema d'aturada està relacionat amb els teoremes d'incompletezza de Gödel, que afirmen que en qualsevol sistema formal prou potent, hi ha afirmacions veritables que no es poden demostrar dins del sistema. La indecidibilitat del problema d'aturada mostra que hi ha preguntes sobre el comportament dels algorismes que no es poden respondre en el marc de la computació algorítmica.
La indecidibilitat del problema de l'aturada també porta al concepte de reductibilitat en la teoria de la complexitat computacional. Es diu que un problema ( A ) és reductible a un problema ( B ) si es pot utilitzar una solució de ( B ) per resoldre ( A ). Si el problema de l'aturada fos decidible, molts altres problemes indecidibles també es podrien decidir reduint el problema de l'aturada. Tanmateix, com que el problema de l'aturada és indecidible, qualsevol problema que es pugui reduir al problema de l'aturada també és indecidible.
El problema d'aturada d'una màquina de Turing és indecidible. Aquest resultat és una pedra angular de la informàtica teòrica i té implicacions de gran abast per a la nostra comprensió de la computació, els límits algorísmics i la naturalesa de la veritat matemàtica.
Altres preguntes i respostes recents sobre Decidibilitat:
- Es pot limitar una cinta a la mida de l'entrada (que equival a que el capçal de la màquina de tornejat estigui limitat per moure's més enllà de l'entrada de la cinta TM)?
- Què significa que les diferents variacions de les màquines de Turing siguin equivalents en capacitat informàtica?
- Un llenguatge reconeixible pot formar un subconjunt de llenguatge decidible?
- Si tenim dues MT que descriuen un llenguatge decidible, la pregunta d'equivalència encara és indecidible?
- En què difereix el problema d'acceptació dels autòmats acotats lineals del de les màquines de Turing?
- Posa un exemple d'un problema que es pot decidir amb un autòmat lineal acotat.
- Explica el concepte de decidibilitat en el context d'autòmats lineals acotats.
- Com afecta la mida de la cinta en autòmats delimitats lineals al nombre de configuracions diferents?
- Quina és la diferència principal entre els autòmats acotats lineals i les màquines de Turing?
- Descriu el procés de transformació d'una màquina de Turing en un conjunt de fitxes per al PCP i com aquestes fitxes representen l'historial de càlcul.
Veure més preguntes i respostes a Decidabilitat