És un problema computable algorítmicament un problema computable per una màquina de Turing d'acord amb la tesi Church-Turing?
La tesi Church-Turing és un principi fonamental en la teoria de la computació i la complexitat computacional. Suposa que qualsevol funció que es pugui calcular per un algorisme també pot ser calculada per una màquina de Turing.
Aquesta tesi no és un teorema formal que es pugui demostrar; més aviat, és una hipòtesi sobre la naturalesa de les funcions computables. Suggereix que el concepte de "computabilitat algorítmica" és capturat adequadament per les màquines de Turing.
Una màquina de Turing és un model matemàtic abstracte de càlcul que defineix una màquina idealitzada capaç de realitzar qualsevol càlcul que es pugui especificar algorítmicament. Consisteix en una cinta infinita dividida en cel·les, un capçal de cinta que pot llegir i escriure símbols a la cinta i un conjunt finit d'estats que determinen les accions de la màquina en funció de l'estat actual i del símbol que es llegeix. La màquina funciona segons un conjunt de regles o una funció de transició que dicta com es mou entre estats, llegeix i escriu símbols i mou el capçal de la cinta.
La tesi Church-Turing afirma que si un problema es pot resoldre per qualsevol mitjà computacional, llavors existeix una màquina de Turing que pot resoldre aquest problema. Aquesta tesi té profundes implicacions per al camp de la informàtica, ja que proporciona un marc formal per entendre els límits del que es pot calcular.
Per il·lustrar el concepte, considereu el problema de determinar si una corda donada és un palíndrom. Un palíndrom és una cadena que llegeix el mateix cap endavant i cap enrere. Un algorisme per resoldre aquest problema podria implicar comparar el primer i l'últim caràcter de la cadena, després el segon i el penúltim caràcters, i així successivament, fins que s'hagin comparat tots els caràcters. Si tots els caràcters corresponents coincideixen, la cadena és un palíndrom; en cas contrari, no ho és.
Es pot construir una màquina de Turing per resoldre aquest problema. La màquina començaria llegint el primer caràcter de la cadena i marcant-lo d'alguna manera (per exemple, escrivint un símbol especial sobre ell). Aleshores es mourà al final de la cadena, llegiria l'últim caràcter i el compararia amb el primer caràcter. Si coincideixen, la màquina marcaria l'últim caràcter i tornaria al següent caràcter no marcat des del principi, repetint el procés fins que s'hagin comparat tots els caràcters. Si en algun moment els caràcters no coincideixen, la màquina s'aturaria i rebutjarà l'entrada. Si tots els caràcters coincideixen, la màquina s'aturaria i acceptaria l'entrada.
Aquest exemple demostra com un problema que es pot descriure algorítmicament també es pot resoldre amb una màquina de Turing, donant suport a la tesi Church-Turing. La tesi implica que qualsevol problema computacional que es pugui resoldre mitjançant un algorisme pot, en principi, ser resolt per una màquina de Turing.
En el context de la ciberseguretat i la teoria de la complexitat computacional, la tesi Church-Turing té implicacions significatives per entendre els límits del que es pot calcular i els recursos necessaris per calcular-lo. La teoria de la complexitat computacional s'ocupa de classificar els problemes computacionals en funció de la seva dificultat inherent i dels recursos (com el temps i l'espai) necessaris per resoldre'ls. La tesi proporciona una base per a aquesta classificació mitjançant l'establiment d'un marc comú per definir i comparar la potència de càlcul de diferents models de càlcul.
Un concepte important en la teoria de la complexitat computacional és la distinció entre problemes decidibles i indecidibles. Un problema és decidible si existeix una màquina de Turing que el pugui resoldre per a totes les entrades possibles en un període de temps finit. Un problema indecidible, d'altra banda, és aquell per al qual no existeix aquesta màquina de Turing. El problema d'aturada, que pregunta si una màquina de Turing determinada s'aturarà en una entrada determinada, és un exemple clàssic d'un problema indecidible. Alan Turing va demostrar que no hi ha cap algorisme general que pugui resoldre el problema de parada per a totes les màquines i entrades de Turing possibles, demostrant l'existència de problemes inherentment incomputables.
La tesi Church-Turing també es relaciona amb el concepte de recursivitat, que és una tècnica fonamental en informàtica i matemàtiques per definir funcions i resoldre problemes. Les funcions recursives són aquelles que es defineixen en termes de si mateixes, sovint amb un cas base per acabar la recursivitat. La classe de funcions recursives primitives, que es defineixen mitjançant funcions bàsiques i composició i recursivitat primitiva, és un subconjunt de la classe de funcions recursives generals, que inclou totes les funcions que es poden calcular per una màquina de Turing.
Una màquina de Turing que escriu una descripció de si mateixa és un exemple de sistema autoreferencial o autorreplicatiu, que està relacionat amb el concepte de recursivitat. Aquesta màquina, sovint anomenada quine, és un programa que produeix una còpia del seu propi codi font com a sortida. Quines són interessants des d'una perspectiva teòrica perquè demostren la capacitat d'una màquina de Turing per realitzar càlculs autorreferencials, que poden tenir implicacions per entendre els límits de la computació i la naturalesa dels sistemes autorreplicants.
La tesi Church-Turing proporciona un marc fonamental per entendre la naturalesa de la computabilitat algorítmica i els límits de la computació. Afirma que qualsevol problema que es pugui resoldre amb un algorisme també es pot resoldre amb una màquina de Turing, establint un marc comú per comparar diferents models de càlcul. La tesi té profundes implicacions per al camp de la teoria de la complexitat computacional, ja que proporciona una base per classificar problemes computacionals i comprendre els recursos necessaris per resoldre'ls. El concepte d'una màquina de Turing que escriu una descripció d'ella mateixa il·lustra el poder de la computació autoreferencial i la capacitat de les màquines de Turing per realitzar càlculs complexos i recursius.
Altres preguntes i respostes recents sobre EITC/IS/CCTF Fonaments de la teoria de la complexitat computacional:
- Quin és el paper del teorema de recursivitat en la demostració de la indecidibilitat de l'ATM?
- Tenint en compte una PDA que pot llegir palíndroms, podríeu detallar l'evolució de la pila quan l'entrada és, primer, un palíndrom i, segon, no un palíndrom?
- Tenint en compte els PDA no deterministes, la superposició d'estats és possible per definició. Tanmateix, els PDA no deterministes només tenen una pila que no pot estar en diversos estats simultàniament. Com és possible això?
- Quin és un exemple de PDA que s'utilitzen per analitzar el trànsit de xarxa i identificar patrons que indiquen possibles infraccions de seguretat?
- Què vol dir que una llengua és més poderosa que una altra?
- Els llenguatges sensibles al context són reconeixibles per una màquina de Turing?
- Per què el llenguatge U = 0^n1^n (n>=0) no és regular?
- Com es defineix un FSM que reconeix cadenes binàries amb un nombre parell de símbols "1" i mostra què passa amb ell quan es processa la cadena d'entrada 1011?
- Com afecta el no determinisme a la funció de transició?
- Els llenguatges normals són equivalents a les màquines d'estats finits?
Vegeu més preguntes i respostes a EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals